ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Концы отрезка \(AB\), равного 15 см, принадлежат окружностям разных оснований цилиндра. Найдите расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра, если высота цилиндра равна 9 см, а радиус его основания — 8 см.

Длина проекции \(AB\) на основание цилиндра:
\(AB_1 = \sqrt{15^2 — 9^2} = \sqrt{225 — 81} = 12\,\text{см}\).

Расстояние от оси цилиндра до прямой \(AB\):
\(d = \sqrt{8^2 — \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{64 — 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\,\text{см}\).

Пусть цилиндр имеет высоту \(h = 9\,\text{см}\) и радиус основания \(R = 8\,\text{см}\). Концы отрезка \(AB\) принадлежат разным основаниям цилиндра, а длина самого отрезка равна \(15\,\text{см}\). Рассмотрим проекцию этого отрезка на одно из оснований цилиндра. Так как основания параллельны, а высота между ними \(9\,\text{см}\), то проекция — это хорда в круге радиуса \(8\,\text{см}\), а длина этой хорды равна длине основания прямоугольного треугольника, где гипотенуза — длина отрезка \(AB\), а один из катетов — высота цилиндра.

Для нахождения длины этой хорды используем теорему Пифагора:
\(AB_1 = \sqrt{AB^{2} — h^{2}} = \sqrt{15^{2} — 9^{2}} = \sqrt{225 — 81} = \sqrt{144} = 12\,\text{см}\).
Таким образом, проекция отрезка \(AB\) на основание цилиндра — это хорда длиной \(12\,\text{см}\).

Теперь найдём расстояние от оси цилиндра до этой хорды. В круге радиуса \(R\) расстояние от центра круга (оси цилиндра) до хорды длиной \(a\) вычисляется по формуле:
\(d = \sqrt{R^{2} — \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\).
Подставляем значения:
\(d = \sqrt{8^{2} — \left(\frac{12}{2}\right)^{2}} = \sqrt{64 — 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\,\text{см}\).
Это и есть искомое расстояние между прямой \(AB\) и осью цилиндра.

Ответ: \(2\sqrt{7}\,\text{см}\).