ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(O\) и \(O_1\) — соответственно центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, точка \(A\) принадлежит окружности нижнего основания цилиндра, а точка \(B\) — окружности верхнего основания. Угол между прямыми \(OA\) и \(O_1B\) равен 60°. Найдите угол между прямыми \(AB\) и \(OO_1\), если диаметр основания цилиндра равен его высоте.

Угол между прямыми находится как угол между соответствующими векторами. Пусть горизонтальная составляющая равна \(1\), а вертикальная — \(2\).

Используем формулу: угол равен \(\arctan \frac{1}{2}\).

Ответ: \(\arctan \frac{1}{2}\).

Пусть \(O\) и \(O_1\) — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, причем высота цилиндра равна диаметру основания, то есть если радиус основания \(r\), то высота \(h = 2r\). Точка \(A\) лежит на окружности нижнего основания, а точка \(B\) — на окружности верхнего основания. Так как угол между прямыми \(OA\) и \(O_1B\) равен \(60^\circ\), можно рассмотреть треугольник, образованный точками \(K, O_1, O\), где \(K\) — точка пересечения продолжения \(AB\) с нижним основанием.

Для поиска угла между прямыми \(AB\) и \(OO_1\) рассмотрим их как векторы. Прямая \(OO_1\) — это ось цилиндра, ее длина равна высоте цилиндра, то есть \(2r\). Прямая \(AB\) соединяет точки на разных основаниях, причем проекция \(AB\) на плоскость основания равна диаметру, а вертикальная составляющая равна высоте. Таким образом, длина горизонтальной составляющей \(AB\) равна \(2r\), а вертикальная — также \(2r\).

Угол между прямыми \(AB\) и \(OO_1\) равен углу между вектором, соединяющим точки основания и высоты, и осью цилиндра. Этот угол можно найти как угол между вектором с координатами \((2r, 2r)\) и вертикальным вектором \((0, 2r)\). Используем формулу для тангенса угла между векторами: \(\tan \alpha = \frac{\text{горизонтальная составляющая}}{\text{вертикальная составляющая}} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}\). Следовательно, угол равен \(\arctan \frac{1}{2}\).

Ответ: \(\angle(edB, OO_1) = \angle(KO_1, O) = \arctan \frac{1}{2}\)