ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ осевого сечения цилиндра равна \(d\) и образует с плоскостью основания цилиндра угол \(\alpha\). Найдите: 1) высоту цилиндра; 2) площадь основания цилиндра.

Пусть диагональ осевого сечения \(d\), угол с основанием \(\alpha\).

1) По определению синуса: \(\sin \alpha = \frac{h}{d}\), значит \(h = d \sin \alpha\).

2) По определению косинуса: \(\cos \alpha = \frac{2r}{d}\), значит \(2r = d \cos \alpha\), отсюда \(r = \frac{d \cos \alpha}{2}\).

Площадь основания: \(S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d \cos \alpha}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2 \cos^2 \alpha}{4}\).

Пусть у нас есть цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна \(d\), а угол между этой диагональю и плоскостью основания равен \(\alpha\). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте \(h\) цилиндра, а другая стороне — диаметру основания \(2r\). Диагональ этого прямоугольника по теореме Пифагора равна \(d = \sqrt{h^{2} + (2r)^{2}}\).

Рассмотрим треугольник, где диагональ \(d\) — гипотенуза, высота \(h\) — противолежащий катет, а диаметр основания \(2r\) — прилежащий катет. По определению синуса угла \(\alpha\) между диагональю и основанием: \(\sin \alpha = \frac{h}{d}\), откуда выражаем высоту: \(h = d \sin \alpha\). По определению косинуса того же угла: \(\cos \alpha = \frac{2r}{d}\), отсюда \(2r = d \cos \alpha\), значит радиус основания равен \(r = \frac{d \cos \alpha}{2}\).

Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле площади круга: \(S_{\text{осн}} = \pi r^{2}\). Подставляем найденное значение радиуса: \(S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{d \cos \alpha}{2}\right)^{2}\). Возводим числитель и знаменатель в квадрат: \(S_{\text{осн}} = \pi \frac{d^{2} \cos^{2} \alpha}{4}\). Таким образом, ответы: высота \(h = d \sin \alpha\), площадь основания \(S_{\text{осн}} = \frac{\pi d^{2} \cos^{2} \alpha}{4}\).