ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямоугольник \(MM_1N_1N\) — сечение цилиндра, параллельное его оси. На окружностях оснований цилиндра по разные стороны от данного сечения выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 7.18). Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\).

,

Проведём прямую \(AB\), которая соединяет точки на верхнем и нижнем основании цилиндра.

Плоскость \(MM_1N_1N\) проходит вертикально через цилиндр, параллельно его оси.

Точка пересечения прямой \(AB\) с этой плоскостью находится внутри цилиндра и обозначена на рисунке буквой \(P\).

Пусть цилиндр имеет основания, параллельные плоскости \(MM_1N_1N\), а точки \(A\) и \(B\) лежат на верхнем и нижнем основании соответственно. Прямая \(AB\) соединяет эти две точки, проходя сквозь цилиндр. Плоскость \(MM_1N_1N\) — сечение цилиндра, параллельное его оси, образованное точками \(M\), \(M_1\), \(N_1\) и \(N\). Эта плоскость делит цилиндр на две части и пересекает его основания по прямым \(MN\) и \(M_1N_1\).

Чтобы найти точку пересечения, рассмотрим координаты точек \(A\) и \(B\) на основаниях цилиндра. Пусть \(A(x_1, y_1, h)\) и \(B(x_2, y_2, 0)\), где \(h\) — высота цилиндра. Прямая \(AB\) задаётся параметрически: \(x = x_1 + t(x_2 — x_1)\), \(y = y_1 + t(y_2 — y_1)\), \(z = h — t h\), где \(t\) — параметр от 0 до 1. Уравнение плоскости \(MM_1N_1N\) можно записать как \(ax + by = c\), если она вертикальна и не зависит от \(z\).

Подставляем выражения для \(x\) и \(y\) из параметризации прямой \(AB\) в уравнение плоскости. Получаем: \(a(x_1 + t(x_2 — x_1)) + b(y_1 + t(y_2 — y_1)) = c\). Решая это уравнение относительно \(t\), находим значение параметра, при котором прямая пересекает плоскость. Подставляя найденный \(t\) в параметрические уравнения прямой, получаем координаты точки пересечения. Эта точка обозначена на рисунке буквой \(P\).