ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна \(S\).

Найдём площадь боковой поверхности цилиндра по формуле: \( S_{бок.} = 2\pi r h \).

Площадь основания: \( S = \pi r^2 \), отсюда \( r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \).

Высота боковой поверхности равна длине диагонали сечения, умноженной на \( \tan\beta \): \( h = 2r \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta \).

Подставим \( r \) и \( h \) в формулу площади:

\( S_{бок.} = 2\pi r \cdot 2r \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta = 4\pi r^2 \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta \)

Так как \( r^2 = \frac{S}{\pi} \), получаем:

\( S_{бок.} = 4S \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta \)

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{бок.} = 2\pi r h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота цилиндра. В данной задаче высота цилиндра определяется не вертикально, а как длина наклонной диагонали сечения, умноженная на тангенс угла наклона \( \beta \) к основанию. Для начала выразим радиус основания через площадь: так как \( S = \pi r^{2} \), отсюда \( r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \).

Диагональ сечения — это хорда основания, соответствующая дуге с градусной мерой \( \alpha \). Длина этой хорды равна \( d = 2r \sin\frac{\alpha}{2} \), поскольку хорда, стягивающая дугу \( \alpha \) в окружности радиуса \( r \), вычисляется именно так. Поскольку сечение наклонено к основанию под углом \( \beta \), высота цилиндра будет равна длине этой хорды, умноженной на \( \tan\beta \): то есть \( h = 2r \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta \).

Теперь подставим выражения для радиуса и высоты в формулу площади боковой поверхности: \( S_{бок.} = 2\pi r h = 2\pi r \cdot 2r \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta = 4\pi r^{2} \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta \). Подставляя \( r^{2} = \frac{S}{\pi} \), получаем окончательную формулу: \( S_{бок.} = 4S \sin\frac{\alpha}{2} \tan\beta \).

Пусть цилиндр имеет основания, параллельные плоскости \(MM_1N_1N\), а точки \(A\) и \(B\) лежат на верхнем и нижнем основании соответственно. Прямая \(AB\) соединяет эти две точки, проходя сквозь цилиндр. Плоскость \(MM_1N_1N\) — сечение цилиндра, параллельное его оси, образованное точками \(M\), \(M_1\), \(N_1\) и \(N\). Эта плоскость делит цилиндр на две части и пересекает его основания по прямым \(MN\) и \(M_1N_1\).

Чтобы найти точку пересечения, рассмотрим координаты точек \(A\) и \(B\) на основаниях цилиндра. Пусть \(A(x_1, y_1, h)\) и \(B(x_2, y_2, 0)\), где \(h\) — высота цилиндра. Прямая \(AB\) задаётся параметрически: \(x = x_1 + t(x_2 — x_1)\), \(y = y_1 + t(y_2 — y_1)\), \(z = h — t h\), где \(t\) — параметр от 0 до 1. Уравнение плоскости \(MM_1N_1N\) можно записать как \(ax + by = c\), если она вертикальна и не зависит от \(z\).

Подставляем выражения для \(x\) и \(y\) из параметризации прямой \(AB\) в уравнение плоскости. Получаем: \(a(x_1 + t(x_2 — x_1)) + b(y_1 + t(y_2 — y_1)) = c\). Решая это уравнение относительно \(t\), находим значение параметра, при котором прямая пересекает плоскость. Подставляя найденный \(t\) в параметрические уравнения прямой, получаем координаты точки пересечения. Эта точка обозначена на рисунке буквой \(P\).