ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна \(S\).

Пусть площадь сечения равна \(S\), а угол \(\alpha\) — угол, под которым видна хорда из центра основания.

Длина хорды равна \(2r \sin \frac{\alpha}{2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра выражается через площадь сечения:

\(S_{бок. п.} = \frac{\pi S}{\sin \frac{\alpha}{2}}\)

Пусть цилиндр имеет радиус основания \(r\) и высоту \(h\). Плоскость проходит параллельно оси цилиндра и пересекает основание по хорде, которая видна из центра основания под углом \(\alpha\). Длина этой хорды равна \(2r \sin \frac{\alpha}{2}\), так как хорда, видимая из центра под углом \(\alpha\), вычисляется по формуле \(2r \sin \frac{\alpha}{2}\).

Площадь сечения цилиндра этой плоскостью равна произведению длины хорды на высоту, то есть \(S = 2r \sin \frac{\alpha}{2} \cdot h\). Следовательно, высоту цилиндра можно выразить через площадь сечения: \(h = \frac{S}{2r \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту, то есть \(S_{бок. п.} = 2\pi r h\). Подставляя выражение для высоты, получаем: \(S_{бок. п.} = 2\pi r \cdot \frac{S}{2r \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi S}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).