ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания цилиндра равен 8 см. Две вершины квадрата со стороной 12 см принадлежат окружности одного основания цилиндра, а две — окружности другого основания. Найдите высоту цилиндра, если плоскость данного квадрата пересекает отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра.

Радиус основания цилиндра \( r = 8 \) см, сторона квадрата \( a = 12 \) см.

Диагональ квадрата: \( d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \).

По теореме Пифагора: \( h = \sqrt{d^2 — (2r)^2} = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 — 16^2} = \sqrt{288 — 256} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.

Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \( r = 8 \) см и квадрат с длиной стороны \( a = 12 \) см. Квадрат расположен так, что две его вершины лежат на одном основании цилиндра, а две другие — на противоположном основании. При этом плоскость квадрата пересекает ось цилиндра, то есть соединяет центры оснований. Необходимо найти высоту цилиндра, обозначим её как \( h \).

Диагональ квадрата вычисляется по формуле \( d = a\sqrt{2} \). Подставляем значения: \( d = 12\sqrt{2} \). Эта диагональ соединяет две противоположные вершины квадрата, которые лежат на разных основаниях цилиндра. Если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный диагональю квадрата, диаметром основания цилиндра и высотой цилиндра, то гипотенуза этого треугольника равна диагонали квадрата (\( 12\sqrt{2} \)), один катет — диаметру основания (\( 2r = 16 \)), а второй катет — высоте цилиндра (\( h \)). Применим теорему Пифагора: \( d^{2} = (2r)^{2} + h^{2} \).

Подставляем значения: \( (12\sqrt{2})^{2} = 16^{2} + h^{2} \). Вычисляем: \( 12^{2} = 144 \), значит \( (12\sqrt{2})^{2} = 144 \times 2 = 288 \), а \( 16^{2} = 256 \). Получаем уравнение: \( 288 = 256 + h^{2} \). Отсюда \( h^{2} = 288 — 256 = 32 \), значит \( h = \sqrt{32} \). Корень из 32 можно представить как \( \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \). Следовательно, высота цилиндра равна \( 4\sqrt{2} \) см.