ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна \(h\), а угол между его равными сторонами равен \(\alpha\). Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

В треугольнике \(ABD\) по определению косинуса: \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{h}{AB}\), отсюда \(AB = \frac{h}{\cos \frac{\alpha}{2}}\).

По определению тангенса: \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ED}{h}\), значит \(ED = h \tan \frac{\alpha}{2}\).

Радиус вписанной окружности: \(OH = h \tan \frac{\alpha}{2} \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\).

Пусть в равнобедренном треугольнике высота \(h\) проведена к основанию \(BC\), а угол между равными сторонами равен \(\alpha\). Проведём высоту \(AD\), где \(D\) — середина основания \(BC\). В треугольнике \(ABD\) угол при вершине \(A\) равен \(\frac{\alpha}{2}\), так как высота делит угол \(\alpha\) пополам. По определению косинуса для этого треугольника имеем: \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{h}{AB}\), откуда длина стороны \(AB\) выражается как \(AB = \frac{h}{\cos \frac{\alpha}{2}}\).

Теперь найдём половину основания \(ED\), где \(E\) — основание высоты на стороне \(BC\). В этом же треугольнике \(ABD\) по определению тангенса: \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ED}{h}\), значит \(ED = h \tan \frac{\alpha}{2}\). Таким образом, основание \(BC\) можно выразить как \(BC = 2 \cdot ED = 2h \tan \frac{\alpha}{2}\).

Чтобы найти радиус вписанной окружности, вспомним формулу для радиуса вписанной окружности через высоту и угол: \(r = h \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\). Эта формула получается из соотношения между высотой, основанием и углом треугольника, а также из свойств вписанной окружности. Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(r = h \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\).