ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 6 см и 27 см, а одна из боковых сторон – 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данную трапецию.

Основания трапеции: \(6\) и \(27\), боковая сторона \(13\).

Вычисляем отрезок: \(BK = \frac{27 — 6}{2} = 10{,}5\).

Высота из формулы Пифагора: \(BK = \sqrt{\frac{169 — 44{,}1}{4}} = \sqrt{\frac{235}{4}}\).

Радиус окружности: \(OH = \frac{1}{2} BK = 6\).

Ответ: \(6\,\text{см}\).

В данной задаче нам известны основания трапеции: \(AB = 6\) и \(CD = 27\), а также боковая сторона \(AD = 13\). Для нахождения радиуса вписанной окружности в трапецию сначала определим длину отрезка \(BK\), который равен расстоянию между концами оснований, если провести высоту из вершины \(D\) на основание \(AB\). По формуле: \(BK = \frac{CD — AB}{2} = \frac{27 — 6}{2} = 10{,}5\).

Далее найдем высоту трапеции, используя теорему Пифагора для треугольника \(ADK\), где \(AD\) — гипотенуза, \(BK\) — один из катетов, а высота \(DK\) — второй катет. Запишем уравнение: \(AD^{2} = BK^{2} + DK^{2}\), следовательно, \(13^{2} = 10{,}5^{2} + DK^{2}\), то есть \(169 = 110{,}25 + DK^{2}\). Тогда \(DK^{2} = 169 — 110{,}25 = 58{,}75\), а значит, \(DK = \sqrt{58{,}75}\).

Для вычисления радиуса вписанной окружности используем известную формулу для равнобокой трапеции: радиус равен половине высоты, проведённой из вершины на основание. Таким образом, \(OH = \frac{1}{2} DK = \frac{1}{2} \sqrt{58{,}75} = 6\). Ответ: \(6\,\text{см}\).