ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь основания цилиндра равна \(49\pi\) см\(^2\), а угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра равен 30°. Найдите высоту цилиндра.

Площадь основания: \(\pi r^2 = 49\pi \Rightarrow r = 7\).

\(\tan 30^\circ = \frac{14}{h}\).

\(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{14}{h} \Rightarrow h = \frac{14 \cdot 3}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}\) см.

Площадь основания цилиндра выражается через радиус как \(\pi r^{2}\). По условию задачи \(\pi r^{2} = 49\pi\), отсюда находим радиус: делим обе части на \(\pi\), получаем \(r^{2} = 49\), значит \(r = 7\) см. Таким образом, диаметр основания равен \(2r = 14\) см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра \(h\), а другая стороне — диаметру основания \(2r\). Диагональ этого прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора: \(d = \sqrt{h^{2} + (2r)^{2}}\). Угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра равен \(30^\circ\). Образующая цилиндра — это высота \(h\), а катет прямоугольника, лежащий на основании, равен \(2r\).

Тангенс угла между диагональю и высотой равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(\tan 30^\circ = \frac{2r}{h}\). Подставляем значения: \(\tan 30^\circ = \frac{14}{h}\). Из таблицы тригонометрических функций известно, что \(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Приравниваем: \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{14}{h}\). Отсюда находим высоту: \(h = \frac{14 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}\) см.