ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращают вокруг большей стороны. Найдите: 1) диагональ осевого сечения образовавшегося цилиндра; 2) площадь полной поверхности этого цилиндра.

Диагональ осевого сечения:
\(c^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\),
\(c = \sqrt{10}\)

Площадь полной поверхности:
\(S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2\)
\(S_{полн} = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 + 2\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(S_{полн} = 3\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} = 3{,}5\pi\,(\text{см}^2)\)

Для нахождения диагонали осевого сечения цилиндра рассмотрим, что осевое сечение — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая — диаметру основания. При вращении прямоугольника со сторонами \(1\) см и \(3\) см вокруг большей стороны получается цилиндр с высотой \(h = 3\) см и диаметром основания \(d = 1\) см. Диагональ этого прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора: \(c^2 = h^2 + d^2\). Подставляем значения: \(c^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\), значит, диагональ равна \(c = \sqrt{10}\).

Для вычисления площади полной поверхности цилиндра используем формулу: \(S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота. Радиус равен половине диаметра: \(r = \frac{1}{2}\) см, а высота \(h = 3\) см. Выражаем отдельно боковую поверхность: \(2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = \pi \cdot 3 = 3\pi\). Площадь двух оснований: \(2\pi r^2 = 2\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}\).

Складываем результаты: \(S_{полн} = 3\pi + \frac{\pi}{2}\). Приводим к общему знаменателю: \(3\pi = \frac{6\pi}{2}\), тогда \(S_{полн} = \frac{6\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}\). Это равно \(3{,}5\pi\) квадратных сантиметров.