ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, ребро которого равно \(a\).

Ребро куба \(a\), высота цилиндра \(h = a\), радиус основания \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Площадь полной поверхности цилиндра:
\(S_{полн} = 2\pi R (R + h)\)

Подставляем значения:
\(S_{полн} = 2\pi \frac{a\sqrt{2}}{2} \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} + a \right)\)

\(= 2\pi \left( \frac{a^2 \cdot 2}{4} + \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} \right)\)

\(= \pi a^2 (\sqrt{2} + 1)\)

Пусть дан куб с ребром \(a\). Цилиндр описан вокруг этого куба, то есть куб полностью помещается внутри цилиндра, причем его грани касаются боковой поверхности цилиндра. Высота такого цилиндра будет равна высоте куба, то есть \(h = a\). Чтобы найти радиус основания цилиндра, заметим, что цилиндр должен охватывать всю диагональ грани куба, поскольку эта диагональ — наибольшая возможная ширина куба в плоскости основания. Диагональ квадрата с ребром \(a\) равна \(a\sqrt{2}\), следовательно, диаметр основания цилиндра тоже равен \(a\sqrt{2}\), а радиус основания: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \(S_{полн} = 2\pi R (R + h)\), где \(R\) — радиус основания, \(h\) — высота. Подставим найденные значения: \(S_{полн} = 2\pi \frac{a\sqrt{2}}{2} \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} + a \right)\). Раскроем скобки: \(\frac{a\sqrt{2}}{2} + a = a \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right)\). Теперь перемножим: \(2\pi \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right) = \pi a \sqrt{2} \cdot a \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right)\).

Упростим выражение: \(\pi a\sqrt{2} \cdot a \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right) = \pi a^{2} \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right)\). Перемножим внутри скобок: \(\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right) = \frac{2}{2} + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2}\). Поэтому окончательно получаем: \(S_{полн} = \pi a^{2} (1 + \sqrt{2})\).