ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а его высота — 12 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами \(6\) см и \(8\) см, высота \(12\) см. Диагональ основания: \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) см.

Радиус описанного цилиндра: \(R = \frac{10}{2} = 5\) см, высота \(h = 12\) см.

Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 50\pi + 120\pi = 170\pi\) см\(^2\).

Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник со сторонами \(6\) см и \(8\) см. Чтобы найти диаметр описанного вокруг основания цилиндра, вычислим диагональ этого прямоугольника по теореме Пифагора: \(d = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) см. Диаметр основания цилиндра равен диагонали основания параллелепипеда, поэтому радиус цилиндра \(R\) равен половине диагонали: \(R = \frac{10}{2} = 5\) см. Высота цилиндра совпадает с высотой параллелепипеда, то есть \(h = 12\) см.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Площадь одного круга-основания равна \(\pi R^{2}\), значит, площадь двух оснований: \(2\pi R^{2}\). Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания на высоту: \(2\pi R h\). Тогда полная площадь поверхности цилиндра: \(S_{полн} = 2\pi R^{2} + 2\pi R h\).

Подставляем найденные значения радиуса и высоты: \(S_{полн} = 2\pi \cdot 5^{2} + 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 60 = 50\pi + 120\pi = 170\pi\) см\(^{2}\). Это и есть площадь полной поверхности описанного цилиндра.