ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с основанием угол \(30^{\circ}\). Высота призмы равна половине диагонали: \(h = \frac{12}{2} = 6\,\text{см}\).

Проекция диагонали на основание: \(EDP = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\,\text{см}\). Сторона основания призмы: \(a = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\,\text{см}\).

Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок. п.}} = 3a \cdot h = 3 \cdot 9 \cdot 6 = 162\,\text{см}^{2}\).

8.12

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью основания угол \(30^{\circ}\). Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Решение:

1. Пусть \(ED = \frac{1}{2} AC = 6\, \text{см}\), так как осевое сечение цилиндра — прямоугольник, а призма вписана так, что ее высота равна половине диагонали. Следовательно, высота призмы \(h = 6\, \text{см}\).

Далее, используем косинус угла между диагональю и основанием цилиндра: \(\cos 30^{\circ} = \frac{EDP}{12}\), где \(EDP\) — проекция диагонали на основание. Тогда \(EDP = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3}\, \text{см}\).

Теперь сторона основания призмы \(a\) равна \(EDP \cdot \sqrt{3}\), так как правильная треугольная призма вписана в цилиндр, и ее сторона равна высоте треугольника, построенного на этой проекции: \(a = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\, \text{см}\).

2. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: \(S_{\text{бок. п.}} = 3a \cdot h = 3 \cdot 9 \cdot 6 = 162\, \text{см}^{2}\).