ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Высота цилиндра \(h = 6\) см, диагональ осевого сечения образует с основанием угол \(60^\circ\).

Пусть сторона квадрата основания призмы \(a\). Диагональ квадрата \(a\sqrt{2}\).

По условию: \(\tan 60^\circ = \frac{6}{a\sqrt{2}}\), отсюда \(a\sqrt{2} = \frac{6}{\sqrt{3}}\), значит \(a = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}\) см.

Площадь боковой поверхности призмы: \(S_{бок} = 4a h = 4\sqrt{6} \cdot 6 = 24\sqrt{6}\) см\(^2\).

Высота цилиндра равна \(h = 6\) см. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, одна из диагоналей которого наклонена к плоскости основания под углом \(60^\circ\). Вписанная призма — правильная четырёхугольная, то есть основание — квадрат. Пусть сторона квадрата основания призмы равна \(a\). Тогда диагональ квадрата составит \(a\sqrt{2}\).

Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через центр основания и высоту. Диагональ этого прямоугольника — это отрезок, соединяющий две противоположные точки на окружностях основания, и её длина совпадает с диагональю квадрата основания призмы, то есть \(a\sqrt{2}\). Из условия задачи известно, что эта диагональ образует угол \(60^\circ\) с плоскостью основания. В треугольнике, где один катет — высота цилиндра \(h = 6\), а другой катет — диагональ основания \(a\sqrt{2}\), тангенс угла между диагональю и основанием равен отношению высоты к диагонали: \(\tan 60^\circ = \frac{6}{a\sqrt{2}}\).

Подставляем значение \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), получаем уравнение: \(\sqrt{3} = \frac{6}{a\sqrt{2}}\). Выразим \(a\): \(a\sqrt{2} = \frac{6}{\sqrt{3}}\), отсюда \(a = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}\) см. Теперь найдём площадь боковой поверхности призмы. Она состоит из четырёх боковых граней, каждая из которых — прямоугольник со сторонами \(a\) и \(h\). Суммарная площадь: \(S_{бок} = 4a h\).

Подставляем найденные значения: \(S_{бок} = 4 \cdot \sqrt{6} \cdot 6 = 24\sqrt{6}\) см\(^{2}\).