ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна \(a\), а диагональ боковой грани образует с боковым ребром призмы угол \(\alpha\). Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

В треугольнике \(F F_1 E\): \(\tan \alpha = \frac{a}{h}\), значит, \(h = \frac{a}{\tan \alpha}\).

Диаметр основания цилиндра равен \(2a\).

Площадь осевого сечения: \(S = 2a \cdot \frac{a}{\tan \alpha} = \frac{2a^2}{\tan \alpha}\).

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной \(a\). Шестиугольник можно вписать в окружность радиуса \(a\), а диаметр этой окружности, который соединяет противоположные вершины, равен \(2a\). Именно этот диаметр будет соответствовать ширине осевого сечения цилиндра, описанного вокруг призмы.

Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник, одна сторона которого — боковое ребро призмы \(h\), другая — сторона основания \(a\). По условию, диагональ боковой грани образует угол \(\alpha\) с боковым ребром. Диагональ прямоугольника равна \(\sqrt{a^{2} + h^{2}}\), а угол между диагональю и боковым ребром определяется как \(\tan \alpha = \frac{a}{h}\). Из этого выражения следует, что высота призмы вычисляется по формуле \(h = \frac{a}{\tan \alpha}\).

Осевое сечение цилиндра, описанного около призмы, представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания \(2a\), а другая — высоте призмы \(h\). Поэтому площадь осевого сечения равна произведению этих сторон: \(S = 2a \cdot h\). Подставляя найденное значение высоты, получаем окончательную формулу: \(S = 2a \cdot \frac{a}{\tan \alpha} = \frac{2a^{2}}{\tan \alpha}\).