ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота основания правильной треугольной призмы равна 9 см, а боковое ребро призмы — 4 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Высота основания треугольной призмы \(a = 9\) см, боковое ребро \(h = 4\) см.
Радиус описанного цилиндра: \(r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\) см.
Площадь осевого сечения: \(S = 2r \cdot h = 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 = 24\sqrt{3}\) см\(^2\).

В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной \(a = 9\) см. Цилиндр описан вокруг призмы, значит его основание касается всех вершин треугольника. Радиус такого цилиндра равен радиусу описанной окружности около правильного треугольника, который вычисляется по формуле: \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставляя значение стороны, получаем \(r = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\) см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, совпадающей с боковым ребром призмы (\(h = 4\) см), а другая — диаметру основания цилиндра, который равен \(2r\). Тогда площадь осевого сечения вычисляется по формуле: \(S = 2r \cdot h\). Подставим значения: \(S = 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 = 6\sqrt{3} \cdot 4 = 24\sqrt{3}\) см\(^2\).

Таким образом, чтобы получить искомую площадь, сначала находим радиус описанной окружности через сторону основания призмы, затем вычисляем диаметр, и, наконец, умножаем его на высоту призмы, получая итоговую площадь осевого сечения цилиндра: \(24\sqrt{3}\) см\(^2\).