ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Радиус вписанного цилиндра:
\( r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности:
\( S_{\text{бок. п. у.}} = 2\pi r h = 2\pi \sqrt{3} \cdot 5 = 10\sqrt{3}\pi \) см\(^2\).

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, сначала определим радиус основания цилиндра. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вычисляется по формуле \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона треугольника. Подставляем значение: \( r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \( r = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \) см.

Далее используем формулу площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{\text{бок. п. у.}} = 2\pi r h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота цилиндра. Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть \( h = 5 \) см. Подставляем найденные значения: \( S_{\text{бок. п. у.}} = 2\pi \sqrt{3} \cdot 5 \).

Произведение \( 2 \cdot 5 = 10 \), поэтому окончательно получаем: \( S_{\text{бок. п. у.}} = 10\sqrt{3}\pi \) см\( ^2 \).