ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Радиус основания цилиндра \(R = \frac{a}{2}\), высота \(h = a\).

Площадь полной поверхности цилиндра: \(S = 2\pi R^2 + 2\pi R h\).

Подставляем значения: \(S = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2\pi \frac{a}{2} a = 2\pi \frac{a^2}{4} + 2\pi \frac{a^2}{2} = \frac{\pi a^2}{2} + \pi a^2 = \frac{3\pi a^2}{2}\).

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \(S = 2\pi R^{2} + 2\pi R h\), где \(R\) — радиус основания цилиндра, а \(h\) — его высота. Вписывая цилиндр в куб, основание цилиндра касается всех сторон основания куба, поэтому диаметр основания цилиндра равен ребру куба: \(2R = a\), откуда радиус \(R = \frac{a}{2}\). Высота цилиндра также равна ребру куба: \(h = a\).

Подставим найденные значения радиуса и высоты в формулу площади поверхности цилиндра. Получаем: \(S = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2} + 2\pi \left(\frac{a}{2}\right) a\). Раскроем скобки: первая часть \(2\pi \left(\frac{a^{2}}{4}\right) = \frac{\pi a^{2}}{2}\), вторая часть \(2\pi \frac{a}{2} a = \pi a^{2}\). Складываем эти результаты: \(\frac{\pi a^{2}}{2} + \pi a^{2}\).

Суммируя, получаем окончательный ответ: \(S = \frac{3\pi a^{2}}{2}\). Это и есть площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в куб с ребром \(a\).