ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В призму, основанием которой является равнобокая трапеция с основаниями 8 см и 18 см, вписан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если высота призмы равна 10 см.

В основании призмы равнобокая трапеция с основаниями 8 и 18 см, высота призмы 10 см.

Радиус цилиндра равен половине высоты трапеции, которую находим через теорему Пифагора:
\( h = 10 \),
\( r = \frac{1}{2} BH \),
\( BH^2 = 13^2 — 5^2 = 169 — 25 = 144 \),
\( BH = 12 \),
\( r = 6 \).

Площадь боковой поверхности цилиндра:
\( S_{бок.цил.} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 6 \cdot 10 = 120\pi \,\text{см}^2 \)

В основании призмы лежит равнобокая трапеция с основаниями 8 см и 18 см. Чтобы найти радиус вписанного цилиндра, определим высоту трапеции, опустив перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Разность оснований равна 10 см, значит, каждый из отрезков у основания будет по 5 см. Боковые стороны трапеции равны, обозначим их за 13 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 5 см (разность оснований пополам) и высотой \( BH \). По теореме Пифагора: \( BH^{2} = 13^{2} — 5^{2} = 169 — 25 = 144 \), откуда \( BH = 12 \) см.

Радиус цилиндра равен половине высоты трапеции, то есть \( r = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см. Высота призмы совпадает с высотой цилиндра и равна 10 см. Для вычисления площади боковой поверхности цилиндра используем формулу \( S_{бок.цил.} = 2\pi r h \), где \( r = 6 \) см, \( h = 10 \) см.

Подставляя значения, получаем: \( S_{бок.цил.} = 2\pi \cdot 6 \cdot 10 = 120\pi \) см\( ^{2} \). Это и есть площадь боковой поверхности вписанного цилиндра.