ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Можно ли описать цилиндр около прямой призмы, основанием которой является ромб, отличный от квадрата?

Нет.

Около призмы можно описать цилиндр, если основания призмы можно вписать в окружность. Ромб, не являющийся квадратом, нельзя вписать в окружность, так как только у квадрата все углы равны \(90^\circ\). Значит, цилиндр описать нельзя.

Нет.

Чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо, чтобы каждое основание призмы можно было вписать в окружность, то есть все вершины основания должны лежать на одной окружности. Для ромба это возможно только в случае, если он является квадратом, потому что только у квадрата все углы равны \(90^\circ\), а у произвольного ромба углы не равны между собой, и диагонали не равны, хотя и пересекаются под прямым углом.

Если рассмотреть ромб с углами \(\alpha\) и \(180^\circ — \alpha\), то лишь при \(\alpha = 90^\circ\) ромб становится квадратом, и только тогда можно вписать его в окружность. Для любого другого значения \(\alpha\) вписать ромб в окружность невозможно, так как у него нет свойства, чтобы сумма противоположных углов была равна \(180^\circ\), как требуется для вписанного четырёхугольника по теореме о вписанном четырёхугольнике: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\), \(\angle B + \angle D = 180^\circ\). В ромбе, отличном от квадрата, эти суммы не равны \(180^\circ\).

Следовательно, если основание прямой призмы — ромб, не являющийся квадратом, то около такой призмы нельзя описать цилиндр, так как основания не вписываются в окружность, и, соответственно, не выполняется необходимое геометрическое условие для описания цилиндра.