ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, к площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы: \(2\pi a h\).

Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму: \(2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} h\).

Отношение площадей: \(1 : \frac{\sqrt{3}}{2} = 2:\sqrt{3}\).

Пусть сторона правильного шестиугольника основания призмы равна \(a\), а высота призмы равна \(h\). Радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника равен стороне: \(R_{\text{опис}} = a\). Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы, равна \(2\pi R_{\text{опис}} h = 2\pi a h\).

Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник равен \(R_{\text{впис}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Тогда площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму, равна \(2\pi R_{\text{впис}} h = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} h = \pi a\sqrt{3} h\).

Отношение площадей боковых поверхностей цилиндров будет равно отношению \(2\pi a h : \pi a\sqrt{3} h\). Сократим одинаковые множители и получим \(1 : \frac{\sqrt{3}}{2}\). Это отношение можно записать как дробь: \(\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\). Приведя к виду из фото, получаем \(2:\sqrt{3}\).