ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

\(\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{ah}{\frac{1}{2}ah} = 2:1\)

Пусть основание правильной треугольной призмы — треугольник со стороной \( a \), а высота призмы — \( h \). Осе́вое сечение цилиндра, описанного около призмы, представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна стороне основания призмы \( a \), а другая — высоте призмы \( h \). Тогда площадь такого сечения вычисляется по формуле \( S_{опис} = a h \).

Если рассматривать цилиндр, вписанный в призму, то его основание вписано в треугольник. Диаметр такого цилиндра равен высоте треугольника, которая выражается как \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \). Осе́вое сечение вписанного цилиндра также прямоугольник, но его основание теперь равно диаметру, то есть \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \), а высота — \( h \). Площадь этого сечения равна \( S_{впис} = \frac{1}{2} a h \).

Отношение площадей осевых сечений цилиндра, описанного около призмы, к вписанному цилиндру выглядит так: \( \frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{a h}{\frac{1}{2} a h} = 2:1 \).