ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и противолежащим углом \(\alpha\). Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

В основании призмы прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и углом \(\alpha\), гипотенуза \(c = \frac{a}{\sin\alpha}\).

Радиус описанного цилиндра: \(r = \frac{a}{2\sin\alpha}\).

Высота призмы: \(h = \frac{a}{\sin\alpha} \tan\beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра:
\(S_{\text{бок. ц.}} = 2\pi r h = \frac{2\pi a^2 \tan\beta}{2 \sin^2\alpha} = \frac{\pi a^2 \tan\beta}{\sin^2\alpha}\).

Основание призмы — прямоугольный треугольник, где один из катетов равен \(a\), а угол при этом катете — \(\alpha\). По определению синуса, гипотенуза этого треугольника выражается как \(c = \frac{a}{\sin\alpha}\). Это значение важно, потому что цилиндр описан вокруг призмы так, что его диаметр совпадает с длиной гипотенузы основания. Следовательно, радиус описанного цилиндра равен половине гипотенузы: \(r = \frac{c}{2} = \frac{a}{2\sin\alpha}\).

Высота призмы определяется из условия, что диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Диагональ этой боковой грани — это отрезок, соединяющий вершины, лежащие на гипотенузе основания и на противоположном основании призмы. Если обозначить высоту призмы через \(h\), то из тригонометрических соотношений получаем: \(\tan\beta = \frac{h}{c}\), откуда \(h = c \tan\beta = \frac{a}{\sin\alpha} \tan\beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок. ц.}} = 2\pi r h\). Подставляем найденные значения радиуса и высоты: \(S_{\text{бок. ц.}} = 2\pi \left(\frac{a}{2\sin\alpha}\right) \left(\frac{a}{\sin\alpha} \tan\beta\right)\). После упрощения получаем окончательный ответ: \(S_{\text{бок. ц.}} = \frac{\pi a^{2} \tan\beta}{\sin^{2}\alpha}\).