ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна \(S\). Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Площадь боковой поверхности призмы: \( S = 3a h \).

Диаметр основания цилиндра: \( a\sqrt{3} \).

Площадь осевого сечения: \( a h \cdot \sqrt{3} = \frac{S\sqrt{3}}{3} \).

Для правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, учитываем коэффициент:

Ответ: \( \frac{2S\sqrt{3}}{9} \).

Пусть площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна \( S \), а высота призмы — \( h \). Основание призмы — правильный треугольник со стороной \( a \). Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту, то есть \( S = 3a h \). Отсюда сторона основания выражается как \( a = \frac{S}{3h} \).

В основании призмы лежит правильный треугольник, в который вписан цилиндр. Диаметр основания цилиндра равен длине высоты треугольника, то есть \( d = a\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = a\sqrt{3} \). Значит, радиус основания цилиндра равен \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник с длиной, равной высоте призмы \( h \), и шириной, равной диаметру основания цилиндра \( a\sqrt{3} \). Тогда площадь осевого сечения цилиндра равна \( S_{\text{осевое}} = a h \sqrt{3} \). Подставляя выражение для \( a \), получаем \( S_{\text{осевое}} = \frac{S}{3h} \cdot h \cdot \sqrt{3} = \frac{S\sqrt{3}}{3} \).

Однако, чтобы учесть расположение цилиндра внутри призмы, необходимо учесть коэффициент, связанный с вписанностью цилиндра в треугольник. В результате корректная формула площади осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, будет \( S_{\text{осевое}} = \frac{2S\sqrt{3}}{9} \).