ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота призмы равна \(h\), а площадь боковой поверхности — \(S\). Найдите радиус основания цилиндра, описанного около данной призмы.

Площадь боковой поверхности призмы: \( S = a h (2 + \sqrt{2}) \).

Радиус основания цилиндра, описанного около призмы: \( r = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \).

Подставляем \( a \) из первой формулы: \( a = \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})} \).

Тогда \( r = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})} \cdot \sqrt{2} = \frac{S \sqrt{2}}{2h(2 + \sqrt{2})} \).

Упрощаем: \( r = \frac{S(\sqrt{2} — 1)}{2h} \).

Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \( a \). Его гипотенуза равна \( a\sqrt{2} \), так как по теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника: \( \text{гипотенуза} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2} \). Высота призмы — \( h \).

Площадь боковой поверхности призмы складывается из площадей трёх боковых граней: двух, соответствующих катетам, и одной, соответствующей гипотенузе. Площадь боковой поверхности равна: \( S = 2a h + a\sqrt{2} h = a h (2 + \sqrt{2}) \).

Цилиндр, описанный около призмы, касается всех вершин основания. Радиус такого цилиндра равен половине гипотенузы основания, то есть \( r = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \). Чтобы выразить \( r \) через \( S \) и \( h \), выразим \( a \) из формулы площади: \( a = \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})} \). Подставляем это значение в формулу радиуса: \( r = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})} \cdot \sqrt{2} = \frac{S\sqrt{2}}{2h(2 + \sqrt{2})} \). Преобразуем числитель: \( \sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} — 1) \), поэтому \( r = \frac{S(\sqrt{2} — 1)}{2h} \).