ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом \(\alpha\) при основании. Диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, равна \(m\) и наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

В треугольнике основания призмы \(BC = m \cos \beta\), где \(m\) — длина диагонали боковой грани, \(\beta\) — угол наклона.

Высота призмы \(h = m \sin \beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму:
\(S_{бок} = \pi m \tan \frac{\alpha}{2} \cos \beta\),
где \(\alpha\) — угол при основании треугольника.

Для решения задачи сначала определим сторону основания треугольника призмы. Пусть диагональ боковой грани равна \(m\) и наклонена к основанию под углом \(\beta\). Тогда проекция этой диагонали на плоскость основания равна \(m \cos \beta\), то есть \(BC = m \cos \beta\).

Далее найдём высоту призмы. Высота определяется как длина вертикальной составляющей диагонали, то есть \(h = m \sin \beta\). Это следует из определения синуса: если диагональ наклонена под углом \(\beta\), то её вертикальная проекция равна произведению длины диагонали на синус этого угла.

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму, используем формулу площади боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок} = 2 \pi r h\), где \(r\) — радиус вписанного цилиндра, а \(h\) — высота цилиндра (совпадает с высотой призмы). Радиус вписанного цилиндра равен \(r = \frac{BC}{2 \tan \frac{\alpha}{2}}\), где \(\alpha\) — угол при основании треугольника. Подставляя найденные значения, получаем окончательную формулу: \(S_{бок} = \pi m \tan \frac{\alpha}{2} \cos \beta\).