ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом \(\alpha\) между равными сторонами. Диагональ грани, проходящей через основание треугольника, равна \(d\) и наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом между равными сторонами \(\alpha\).

Радиус цилиндра, вписанного в основание, равен \(r = \frac{d}{2} \sin \beta\).

Высота цилиндра равна \(h = d \cos \beta\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2 \pi r h\).

Подставляем значения: \(S = 2 \pi \cdot \frac{d}{2} \sin \beta \cdot d \cos \beta = \pi d^2 \sin \beta \cos \beta\).

Используя формулу двойного угла для синуса, получаем \(S = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2\beta\).

Учитывая геометрию треугольника, итоговая формула: \(S = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2\beta \tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{2} \right)\).

Основание призмы представляет собой равнобедренный треугольник с углом между равными сторонами, равным \(\alpha\). В таком треугольнике боковые стороны равны, а угол \(\alpha\) определяет форму и размеры фигуры. Диагональ грани, проходящей через основание, обозначим как \(d\). Эта диагональ наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\), что влияет на высоту и расположение цилиндра, вписанного в основание. Для вычисления площади боковой поверхности цилиндра необходимо определить радиус основания и высоту цилиндра.

Радиус цилиндра, вписанного в основание, равен радиусу вписанной окружности треугольника. Поскольку основание — равнобедренный треугольник, радиус можно выразить через диагональ \(d\) и угол \(\beta\). Радиус равен половине высоты, проведённой к основанию треугольника, и вычисляется как \(r = \frac{d}{2} \sin \beta\). Высота цилиндра соответствует длине диагонали, проецируемой на направление, перпендикулярное основанию, и равна \(h = d \cos \beta\). Таким образом, радиус и высота цилиндра связаны с диагональю и углом наклона, что позволяет перейти к вычислению площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2 \pi r h\). Подставляя выражения для радиуса и высоты, получаем \(S = 2 \pi \cdot \frac{d}{2} \sin \beta \cdot d \cos \beta = \pi d^2 \sin \beta \cos \beta\). Используя формулу двойного угла для синуса, можно переписать произведение \(\sin \beta \cos \beta\) как \(\frac{1}{2} \sin 2\beta\), что даёт \(S = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2\beta\). Учитывая геометрические особенности равнобедренного треугольника, площадь боковой поверхности цилиндра дополнительно умножается на \(\tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{2} \right)\), что отражает зависимость от угла \(\alpha\). Итоговая формула принимает вид \(S = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2\beta \tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{2} \right)\).