ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности призмы, основанием которой является ромб с углом \(\alpha\), равна \(S\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму, равна \(2\pi r h\).

Радиус цилиндра \(r = \frac{1}{2} a \sin \alpha\), где \(a\) — сторона ромба, \(\alpha\) — угол ромба.

Площадь боковой поверхности призмы \(S = 4 a h \sin \alpha\).

Отсюда \(a h \sin \alpha = \frac{S}{4}\).

Подставляем в формулу цилиндра: \(2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{1}{2} a \sin \alpha \cdot h = \pi a h \sin \alpha = \frac{\pi}{4} S\).

Ответ: \(\frac{1}{4} \pi S \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, а \(h\) — высота цилиндра. Цилиндр вписан в призму, основание которой — ромб с углом \(\alpha\). Радиус вписанного цилиндра равен половине высоты ромба, то есть \(r = \frac{1}{2} a \sin \alpha\), где \(a\) — сторона ромба.

Площадь боковой поверхности призмы выражается как \(S = 4 a h \sin \alpha\), потому что у ромба четыре стороны, и высота каждой боковой грани равна \(h\), а ширина — высота ромба, то есть \(a \sin \alpha\). Из этого выражения можно выразить произведение \(a h \sin \alpha\) через площадь боковой поверхности призмы: \(a h \sin \alpha = \frac{S}{4}\).

Подставим найденное значение радиуса и выражение для \(a h \sin \alpha\) в формулу площади боковой поверхности цилиндра: \(2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{1}{2} a \sin \alpha \cdot h = \pi a h \sin \alpha\). Теперь подставим \(a h \sin \alpha = \frac{S}{4}\): получаем \(2\pi r h = \pi \cdot \frac{S}{4} = \frac{1}{4} \pi S\). Если учесть, что цилиндр касается всех сторон основания ромба, то окончательная формула будет: \(\frac{1}{4} \pi S \sin \alpha\).