ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна \(S\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Площадь боковой поверхности цилиндра:
\( S_{бок.ц} = 2\pi r h \).
Радиус вписанного цилиндра: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Высота та же, что у призмы: \( h \).
Тогда \( S_{бок.ц} = 2\pi \frac{a\sqrt{3}}{2} h = \pi a \sqrt{3} h \).

Площадь боковой поверхности призмы:
\( S_{бок.пр} = 6a h = S \), значит \( a h = \frac{S}{6} \).

Подставляем:
\( S_{бок.ц} = \pi a \sqrt{3} h = \pi \sqrt{3} \frac{S}{6} = \frac{1}{6} \pi S \sqrt{3} \).

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна \( a \), а высота призмы равна \( h \). Тогда периметр основания призмы равен \( 6a \), и площадь боковой поверхности призмы выражается как \( S_{бок.пр} = 6a h \). По условию задачи известно, что эта площадь равна \( S \), то есть \( 6a h = S \). Отсюда можно выразить произведение \( a h \) как \( a h = \frac{S}{6} \).

Вписанный цилиндр будет иметь ту же высоту \( h \), а его основание — окружность, вписанную в правильный шестиугольник. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной \( a \), равен \( r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \). Это следует из свойств правильного шестиугольника: если его сторона \( a \), то расстояние от центра до стороны (радиус вписанной окружности) вычисляется как \( r = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту: \( S_{бок.ц} = 2\pi r h \). Подставим найденное значение радиуса: \( S_{бок.ц} = 2\pi \frac{a\sqrt{3}}{2} h = \pi a \sqrt{3} h \). Теперь выразим \( a h \) через \( S \) из первого абзаца: \( S_{бок.ц} = \pi \sqrt{3} \frac{S}{6} \).

Итак, окончательно получаем:
\( S_{бок.ц} = \frac{1}{6} \pi S \sqrt{3} \).