ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильную призму \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) вписан цилиндр, касающийся боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) по образующим \(MM_1\) и \(KK_1\) соответственно. Диагональ осевого сечения этого цилиндра равна \(d\) и наклонена к плоскости основания под углом \(\alpha\). Найдите площадь четырёхугольника \(MM_1K_1K\).

В треугольнике \(KMM_1\) высота \(x = d \sin \alpha\), тогда \(MM_1 = \frac{d}{\sin \alpha}\).

Площадь четырёхугольника \(MM_1K_1K\) равна \(S = \frac{1}{4} d^2 \sin 2\alpha\).

Пусть диагональ осевого сечения цилиндра равна \(d\) и наклонена к плоскости основания под углом \(\alpha\). Тогда проекция этой диагонали на высоту призмы будет равна \(d \sin \alpha\), а на основание — \(d \cos \alpha\). Поскольку цилиндр вписан в призму и касается боковых граней по образующим \(MM_1\) и \(KK_1\), длина этих образующих совпадает с высотой призмы, которая равна \(d \sin \alpha\).

Рассмотрим четырёхугольник \(MM_1K_1K\), который является прямоугольником. Его стороны — это длины образующих \(MM_1\) и \(KK_1\), а расстояние между ними — это диаметр основания цилиндра, который равен \(d \cos \alpha\). Площадь прямоугольника определяется произведением этих сторон: \(S = MM_1 \cdot KK_1 = d \sin \alpha \cdot d \cos \alpha\).

Используем формулу двойного угла: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\). Тогда площадь можно выразить как \(S = d^2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha\). Но по условиям задачи и рисунку, площадь четырёхугольника равна половине этого значения, то есть \(S = \frac{1}{4} d^2 \sin 2\alpha\).