ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильную призму \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) вписан цилиндр, касающийся боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) по образующим \(MM_1\) и \(KK_1\) соответственно. Диагональ осевого сечения этого цилиндра равна \(d\) и наклонена к плоскости основания под углом \(\alpha\). Найдите площадь четырёхугольника \(MM_1K_1K\).

Площадь квадрата \(SEE_1F_1F\) равна квадрату длины его стороны.

Сторона квадрата равна диагонали основания цилиндра, то есть \(EF = R\sqrt{2}\).

Тогда площадь: \(S_{EE_1F_1F} = EF^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2\).

В правильной четырехугольной призме основание — квадрат, а цилиндр вписан так, что его ось параллельна боковым рёбрам. Радиус основания цилиндра равен \(R\), и он касается двух соседних боковых граней призмы. Квадрат \(EE_1F_1F\) образован точками касания цилиндра с этими гранями, причём его стороны — это хорды, параллельные боковым рёбрам, и расстояние между ними совпадает с диаметром основания цилиндра.

Если рассмотреть основание призмы, то вписанный цилиндр касается двух соседних сторон квадрата, а его диаметр равен длине диагонали вписанного квадрата. Сторона квадрата \(EE_1F_1F\) равна длине диагонали квадрата, вписанного в круг радиуса \(R\). Диагональ такого квадрата вычисляется по формуле: \(d = R\sqrt{2}\). Это связано с тем, что если квадрат вписан в окружность радиуса \(R\), то его диагональ совпадает с диаметром окружности, а сторона квадрата равна \(R\sqrt{2}\).

Площадь квадрата \(EE_1F_1F\) равна квадрату его стороны. Следовательно, если сторона квадрата равна \(R\sqrt{2}\), то площадь будет \(S = (R\sqrt{2})^{2} = R^{2} \cdot 2 = 2R^{2}\). Таким образом, ответ: \(2R^{2}\).