ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(CD\) — высота треугольника \(ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = 15\) см, \(CD = 12\) см. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник \(BCD\).

В треугольнике \(ACD\): \(AD = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9\) см.

По свойству высоты: \(CD^2 = AD \cdot DB\), значит \(144 = 9 \cdot DB\), отсюда \(DB = \frac{144}{9} = 16\) см.

В треугольнике \(CBD\): \(CB = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см.

Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{12 + 16 — 20}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.

Длина окружности: \(C = 2\pi r = 8\pi\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ACB\) известны катет \(AC = 15\) см и высота \(CD = 12\) см, проведённая к гипотенузе \(AB\). Чтобы найти стороны треугольника \(BCD\), сначала определим длину отрезка \(AD\), который является проекцией катета \(AC\) на гипотенузу. По теореме Пифагора: \(AD = \sqrt{AC^{2} — CD^{2}} = \sqrt{15^{2} — 12^{2}} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9\) см.

Далее используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: произведение отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равно квадрату высоты, то есть \(CD^{2} = AD \cdot DB\). Подставляем значения: \(12^{2} = 9 \cdot DB\), откуда \(144 = 9 \cdot DB\), следовательно, \(DB = \frac{144}{9} = 16\) см. Теперь найдём сторону \(CB\) треугольника \(BCD\) также по теореме Пифагора: \(CB = \sqrt{CD^{2} + DB^{2}} = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см.

Теперь определим радиус вписанной окружности треугольника \(BCD\) по формуле \(r = \frac{a + b — c}{2}\), где \(a = CD = 12\) см, \(b = DB = 16\) см, \(c = CB = 20\) см: \(r = \frac{12 + 16 — 20}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см. Длина окружности равна \(C = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi\) см.