ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Определите вид треугольника, являющегося основанием призмы, вписанной в цилиндр, если ось цилиндра проходит внутри призмы.

Основание призмы, вписанной в цилиндр, если ось цилиндра проходит внутри призмы, — это треугольник, у которого все углы острые (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)), либо один угол прямой (\(=90^\circ\)). Поэтому основание может быть остроугольным или прямоугольным треугольником.

Остроугольный, прямоугольный

Если призма вписана в цилиндр, то ее основание — треугольник, у которого все вершины лежат на окружности основания цилиндра. Это возможно только для остроугольного или прямоугольного треугольника, потому что для тупоугольного треугольника одна вершина будет находиться вне окружности, а значит, такой треугольник нельзя вписать в цилиндр с осью, проходящей внутри призмы. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы меньше \(90^\circ\), то есть: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), \(0^\circ < \beta < 90^\circ\), \(0^\circ < \gamma < 90^\circ\).

Прямоугольный треугольник также может быть вписан в окружность, так как его гипотенуза будет являться диаметром этой окружности, а остальные две вершины будут лежать на окружности. В таком треугольнике один угол равен \(90^\circ\), то есть: \(\alpha = 90^\circ\), а два других — острые (\(0^\circ < \beta < 90^\circ\), \(0^\circ < \gamma < 90^\circ\)). Если ось цилиндра проходит внутри призмы, то все вершины основания должны быть внутри цилиндра, и это условие выполняется только для остроугольного и прямоугольного треугольника.

Таким образом, основание призмы, вписанной в цилиндр с осью внутри призмы, может быть либо остроугольным треугольником, либо прямоугольным треугольником. Тупоугольный треугольник не подходит, потому что его вершина с тупым углом будет находиться вне окружности, а значит, такой треугольник нельзя вписать в цилиндр указанным образом.

Остроугольный, прямоугольный