ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 8.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Можно ли вписать цилиндр в прямую призму, основанием которой является прямоугольник, отличный от квадрата?

Да.

В основании призмы прямоугольник, в который можно вписать круг.
В этот круг можно вписать цилиндр, совпадающий с высотой призмы.
Следовательно, цилиндр можно вписать в прямую призму с прямоугольным основанием.

Да.

Цилиндр можно вписать в прямую призму, основанием которой является прямоугольник, отличный от квадрата, потому что в любом прямоугольнике можно вписать окружность максимального возможного радиуса. Радиус такой окружности равен половине меньшей стороны прямоугольника, то есть если стороны основания прямоугольника равны \(a\) и \(b\), где \(a < b\), то радиус вписанного круга будет \(r = \frac{a}{2}\). Высота цилиндра совпадает с высотой призмы. Вписанный цилиндр будет иметь основание совпадающее с вписанным кругом в прямоугольнике. Его ось будет перпендикулярна основанию призмы, а высота цилиндра будет равна высоте призмы \(h\). Таким образом, объем такого цилиндра будет равен \(V = \pi r^{2} h = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2} h = \frac{\pi a^{2} h}{4}\). В случае, если основание призмы — квадрат (\(a = b\)), радиус круга увеличится, но условие задачи допускает любой прямоугольник, отличный от квадрата. Поэтому цилиндр можно вписать в призму с любым прямоугольным основанием, выбирая радиус по меньшей стороне.