ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь осевого сечения конуса, образовавшегося в результате вращения прямоугольного треугольника с гипотенузой 17 см и катетом 15 см вокруг другого катета.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза \(17\) см, один катет \(15\) см. По теореме Пифагора: \(x = \sqrt{17^2 — 15^2} = \sqrt{289 — 225} = \sqrt{64} = 8\) см.

Площадь осевого сечения конуса: \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 30 = 120\) см\(^2\).

В задаче дан прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна \(17\) см, а один из катетов равен \(15\) см. Для нахождения второго катета необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если обозначить второй катет через \(x\), то по формуле получаем: \(x = \sqrt{17^{2} — 15^{2}}\). Подставляем значения: \(17^{2} = 289\), \(15^{2} = 225\), значит, \(x = \sqrt{289 — 225} = \sqrt{64} = 8\) см. Таким образом, длина второго катета составляет \(8\) см.

При вращении данного треугольника вокруг катета длиной \(8\) см образуется конус, осевое сечение которого представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника совпадает с диаметром основания конуса, а высота равна высоте конуса. Диаметр основания конуса равен удвоенной длине катета, вокруг которого происходит вращение, то есть \(2 \cdot 15 = 30\) см. Высота осевого сечения равна тому катету, вокруг которого вращается треугольник, то есть \(8\) см.

Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). В нашем случае основание — это \(30\) см, высота — \(8\) см, значит, \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 30 = 4 \cdot 30 = 120\) см\(^2\).