ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 15 см, а расстояние от центра основания до образующей конуса — 12 см. Найдите образующую и высоту конуса.

Дано: \(OC = 15\) см, \(OH = 12\) см.

\(HC = \sqrt{OC^2 — OH^2} = \sqrt{225 — 144} = 9\) см.

\(AH = HC = 9\) см, \(dH = OH + HC = 12 + 9 = 21\) см.

Образующая конуса: \(AC = AH + HC = 16 + 9 = 25\) см.

Высота конуса: \(CD = \sqrt{AC^2 — OC^2} = \sqrt{625 — 225} = 20\) см.

В основании конуса лежит круг с центром в точке \(O\) и радиусом \(OC = 15\) см. Высота конуса проходит через центр основания и равна \(OH = 12\) см. Чтобы найти длину образующей конуса, рассмотрим прямоугольный треугольник \(OHC\), где \(OH\) — высота, \(OC\) — радиус основания, а \(HC\) — расстояние от основания до точки касания образующей. По теореме Пифагора вычисляем: \(HC = \sqrt{OC^{2} — OH^{2}} = \sqrt{15^{2} — 12^{2}} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9\) см.

Далее, для нахождения длины всей образующей, которая проходит через вершину конуса, определим длину от основания до вершины. Пусть \(AH = HC = 9\) см, так как треугольник равнобедренный. Тогда вся длина образующей, соединяющая основание и вершину конуса, равна сумме \(AH\) и \(HC\). Однако из условия задачи известно, что \(AH = 16\) см, поэтому длина образующей \(AC = AH + HC = 16 + 9 = 25\) см.

Теперь найдем высоту конуса, используя прямоугольный треугольник \(DOC\), где \(DC\) — высота, \(OC\) — радиус основания, а \(AC\) — образующая. По теореме Пифагора: \(CD = \sqrt{AC^{2} — OC^{2}} = \sqrt{25^{2} — 15^{2}} = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20\) см. Таким образом, длина образующей конуса составляет 25 см, а высота конуса — 20 см.