ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В основании конуса проведена хорда длиной \(a\), стягивающая дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите высоту конуса.

В основании конуса хорда \(a\), стягивающая дугу \(\alpha\). Радиус основания: \(r = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Высота конуса: \(h = r \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Пусть в основании конуса проведена хорда \(a\), стягивающая дугу с центральным углом \(\alpha\). Радиус основания конуса \(r\) можно найти из формулы длины хорды окружности: \(a = 2r \sin \frac{\alpha}{2}\). Выразим отсюда радиус: \(r = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом \(\beta\). Высота конуса \(h\) связана с радиусом основания и этим углом следующим образом: если провести высоту из вершины конуса на центр основания, получим прямоугольный треугольник, где катеты — высота \(h\) и радиус \(r\), а угол между образующей и основанием — \(\beta\). Тогда \(\tan \beta = \frac{h}{r}\), откуда \(h = r \tan \beta\).

Подставляя найденное выражение для радиуса \(r\) в формулу для высоты, получаем: \(h = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\). Таким образом, высота конуса выражается через длину хорды основания \(a\), угол дуги \(\alpha\) и угол наклона образующей \(\beta\).