ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В основании конуса проведена хорда, стягивающая дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Угол между высотой конуса и его образующей равен \(\beta\), а длина образующей равна \(t\). Найдите данную хорду.

В основании конуса радиус \(OB = t \sin \beta\).

Длина хорды \(EF\) в основании через центральный угол \(\alpha\):
\(EF^2 = 2 t^2 \sin^2 \beta (1 — \cos \alpha)\).

Так как \(1 — \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\),
\(EF = 2 t \sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}\).

Пусть основание конуса — круг с центром \(O\), радиусом \(OB\). Высота конуса пересекает основание в точке \(O\), а образующая конуса имеет длину \(t\) и угол наклона к высоте \(\beta\). Тогда радиус основания можно выразить через длину образующей и угол наклона: по определению синуса, \(OB = t \sin \beta\), так как \(OB\) — катет напротив угла \(\beta\) в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — образующая.

Пусть \(EF\) — хорда, стягивающая дугу с центральным углом \(\alpha\). По формуле длины хорды в окружности, если радиус \(r\) и угол \(\alpha\), длина хорды вычисляется как \(EF = 2r \sin \frac{\alpha}{2}\). Подставим найденный радиус: \(EF = 2 t \sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}\). Это выражение учитывает, что хорда зависит от радиуса основания и угла, который она стягивает.

Также можно получить это через разложение по косинусу. Сначала запишем квадрат длины хорды через теорему косинусов: \(EF^2 = 2 r^2 (1 — \cos \alpha)\). Подставим \(r = t \sin \beta\), получим \(EF^2 = 2 t^2 \sin^2 \beta (1 — \cos \alpha)\). Далее используем тригонометрическую формулу \(1 — \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\) и окончательно получаем: \(EF = 2 t \sin \beta \sin \frac{\alpha}{2}\).