ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна \(\beta\) (\(0^\circ < \beta < 180^\circ\)). Найдите площадь образовавшегося сечения, если высота конуса равна \(H\), а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен \(\alpha\).

Пусть \( S_{\triangle E F} \) — площадь сечения.

Высота конуса \( H \), угол между плоскостью сечения и основанием конуса \( \alpha \), градусная мера дуги \( \beta \).

Площадь сечения равна площади треугольника \( \triangle E F \), которую можно найти по формуле:

\( S_{\triangle E F} = \frac{1}{2} \cdot E O \cdot E F \),

где \( E O = H \cdot \tan \alpha \), а \( E F = 2 H \cdot \tan \frac{\beta}{2} \).

Тогда

\( S_{\triangle E F} = \frac{1}{2} \cdot H \cdot \tan \alpha \cdot 2 H \cdot \tan \frac{\beta}{2} = H^2 \frac{\tan \alpha \cdot \tan \frac{\beta}{2}}{\sin \alpha} \).

Ответ:

\( S_{\triangle E F} = \frac{H^2 \tan \alpha \cdot \tan \frac{\beta}{2}}{\sin \alpha} \).

1. Рассмотрим конус с высотой \( H \). Через две образующие конуса проведена плоскость, которая пересекает основание по хорде, стягивающей дугу с градусной мерой \( \beta \). Нам нужно найти площадь сечения, образованного этой плоскостью. Сечение будет треугольником \( \triangle E F \), где точки \( E \) и \( F \) лежат на основании конуса, а вершина \( O \) — вершина конуса.

2. Высота конуса \( H \) — это расстояние от вершины \( O \) до плоскости основания. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса обозначим как \( \alpha \). Плоскость сечения наклонена под углом \( \alpha \) к основанию, поэтому длина отрезка \( E O \) на сечении связана с высотой конуса и углом наклона через тангенс: \( E O = H \cdot \tan \alpha \).

3. Хорда \( E F \) стягивает дугу с градусной мерой \( \beta \), следовательно, длина хорды равна \( E F = 2 \cdot H \cdot \tan \frac{\beta}{2} \). Площадь треугольника \( \triangle E F \) вычисляется по формуле половины произведения основания на высоту: \( S_{\triangle E F} = \frac{1}{2} \cdot E O \cdot E F \). Подставляя значения, получаем \( S_{\triangle E F} = \frac{1}{2} \cdot H \cdot \tan \alpha \cdot 2 \cdot H \cdot \tan \frac{\beta}{2} = H^{2} \cdot \frac{\tan \alpha \cdot \tan \frac{\beta}{2}}{\sin \alpha} \).

Ответ: \( S_{\triangle E F} = \frac{H^{2} \cdot \tan \alpha \cdot \tan \frac{\beta}{2}}{\sin \alpha} \).