ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие конуса, угол между которыми равен 60°, проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде длиной 8 см, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус основания конуса: \( r = 4\sqrt{2} \) см, так как длина хорды \( CD = 8 \) см стягивает дугу \( 90^\circ \), и \( CD = r\sqrt{2} \).

Длина образующей: \( l = 8 \) см, из треугольника с углом \( 60^\circ \) между образующими, по теореме косинусов: \( 8^2 = l^2 + l^2 — 2l^2 \cdot \frac{1}{2} \).

Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}\pi \) см\(^2\).

Для нахождения радиуса основания конуса воспользуемся тем, что хорда \( CD \) основания равна \( 8 \) см и стягивает дугу в \( 90^\circ \). Центр основания обозначим как \( O \), а радиус как \( r \). По формуле длины хорды: \( CD = 2r \sin\frac{\alpha}{2} \), где \( \alpha = 90^\circ \). Тогда \( CD = 2r \sin 45^\circ = 2r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2} \). Приравниваем к 8: \( r\sqrt{2} = 8 \), отсюда \( r = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \) см.

Для определения длины образующей конуса используем теорему косинусов. В основании конуса точки \( C \) и \( D \) равноудалены от центра \( O \), \( OC = OD = r \), угол между ними равен \( 60^\circ \), так как угол между образующими конуса по условию задачи \( 60^\circ \). Применяем теорему косинусов: \( CD^{2} = OC^{2} + OD^{2} — 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos 60^\circ \). Подставляем: \( 8^{2} = l^{2} + l^{2} — 2l^{2} \cdot \frac{1}{2} \). Получаем: \( 64 = 2l^{2} — l^{2} = l^{2} \), значит \( l = 8 \) см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляем по формуле \( S_{бок} = \pi r l \). Подставляем найденные значения: \( S_{бок} = \pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}\pi \) см\( ^{2} \).