ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Треугольник с катетами 5 и 12, гипотенуза \(SC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\).

Пусть \(SO = x\), \(OC = 13 — x\).

Из уравнения: \(144 — x^2 = 25 — (13 — x)^2\).

Раскрываем скобки: \(144 — x^2 = 25 — 169 + 26x — x^2\).

Получаем: \(144 — x^2 = -144 + 26x — x^2\).

\(288 = 26x\), \(x = \frac{144}{13}\).

Тогда \(SO = \frac{144}{13}\), \(OC = \frac{25}{13}\).

\(OB = \sqrt{144 — \left(\frac{144}{13}\right)^2} = \frac{60}{13}\).

Площадь поверхности: \(S_{п.п.} = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 12 + \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 5 = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 17 = \frac{1020\pi}{13}\).

В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 и 12, значит гипотенуза равна \(SC = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\). Пусть точка \(O\) — основание перпендикуляра из вершины прямого угла на гипотенузу. Обозначим \(SO = x\), тогда \(OC = 13 — x\).

Используем теорему Пифагора для нахождения \(SO\). По построению, точки \(S\), \(O\), \(B\), \(C\) лежат на одной плоскости, и выполняется равенство: \(OB^{2} = SB^{2} — SO^{2}\) и одновременно \(OB^{2} = BC^{2} — OC^{2}\). Приравниваем эти выражения: \(SB^{2} — SO^{2} = BC^{2} — OC^{2}\). Подставляем значения: \(12^{2} — x^{2} = 5^{2} — (13 — x)^{2}\). Раскрываем скобки: \(144 — x^{2} = 25 — (169 — 26x + x^{2})\). Преобразуем: \(144 — x^{2} = 25 — 169 + 26x — x^{2}\), то есть \(144 — x^{2} = -144 + 26x — x^{2}\). Переносим все в одну сторону: \(144 + 144 = 26x\). Получаем \(288 = 26x\), откуда \(x = \frac{144}{13}\).

Теперь \(SO = \frac{144}{13}\), а \(OC = 13 — \frac{144}{13} = \frac{169 — 144}{13} = \frac{25}{13}\). Далее находим радиус вращения для катетов. Радиус для катета \(SB\) равен \(OB = \sqrt{SB^{2} — SO^{2}} = \sqrt{144 — \left(\frac{144}{13}\right)^{2}}\). Преобразуем: \(OB = \sqrt{144 — \frac{20736}{169}} = \sqrt{\frac{24336 — 20736}{169}} = \sqrt{\frac{3600}{169}} = \frac{60}{13}\).

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей боковых поверхностей двух цилиндров, образованных вращением катетов вокруг гипотенузы. Для каждого катета площадь боковой поверхности равна \(2\pi r h\), но так как вращается только одна сторона, берём \(S_{п.п.} = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 12 + \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 5\). Складываем: \(S_{п.п.} = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot (12 + 5) = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 17 = \frac{1020\pi}{13}\).