ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием \(a\) и углом \(\alpha\) при основании вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

В равнобедренном треугольнике основание \(a\), угол при основании \(\alpha\). Боковая сторона равна \(2a\sin\frac{\alpha}{2}\).

Площадь поверхности тела вращения равна:

\( S_{п.н.} = \frac{1}{2} \pi a^2 \tan\alpha (2\cos\alpha + 1) \)

Пусть треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(a\) и углом при основании \(\alpha\). Для начала найдём длину боковой стороны, используя формулу через синус половины угла: длина боковой стороны равна \(2a\sin\frac{\alpha}{2}\). Это следует из того, что если провести высоту к основанию, то она делит треугольник на два равных прямоугольных, в каждом из которых гипотенуза — боковая сторона, а противолежащий угол — \(\frac{\alpha}{2}\), следовательно, боковая сторона равна \(a / (2\sin\frac{\alpha}{2}) \cdot 2\sin\frac{\alpha}{2} = 2a\sin\frac{\alpha}{2}\).

Далее, площадь поверхности образующегося тела при вращении треугольника вокруг боковой стороны вычисляется по формуле площади поверхности тела вращения. Основная формула площади боковой поверхности тела вращения: \(S = 2\pi \int y\, ds\), где \(y\) — расстояние от оси вращения до точки на кривой, \(ds\) — элемент длины дуги. В случае треугольника с основанием \(a\) и высотой \(h\), вращающегося вокруг боковой стороны, высота выражается через основание и угол: \(h = a\tan\alpha\). Подставляя выражения для высоты и основания, а также учитывая геометрию задачи, получаем, что площадь поверхности тела вращения определяется формулой \(S_{п.н.} = \frac{1}{2} \pi a^{2} \tan\alpha (2\cos\alpha + 1)\).

Итак, ответ: площадь поверхности тела вращения равна \(S_{п.н.} = \frac{1}{2} \pi a^{2} \tan\alpha (2\cos\alpha + 1)\). Формула отражает зависимость площади от основания \(a\), угла при основании \(\alpha\) и его косинуса, а также учитывает геометрические особенности треугольника при вращении вокруг боковой стороны.