ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\) вращается вокруг прямой, содержащей его основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и углом при основании \(\alpha\) вращается вокруг линии, содержащей основание. Высота треугольника вычисляется как \(h = \frac{a}{2} \cot \frac{\alpha}{2}\).

При вращении образуется конус с радиусом основания \(r = \frac{a}{2}\) и образующей \(l = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Площадь боковой поверхности конуса равна \(S = \pi r l = \pi \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi a^2}{4 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Учитывая высоту и угол, площадь поверхности тела вращения выражается формулой \(S = \frac{\pi a^2 \cot \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и углом при основании \(\alpha\). При вращении этого треугольника вокруг прямой, содержащей основание, образуется тело вращения, которое можно представить как конус. Для нахождения площади поверхности этого тела сначала определим геометрические параметры треугольника.

Высота треугольника, опущенная на основание \(a\), равна \(h = \frac{a}{2} \cot \frac{\alpha}{2}\). Это следует из определения котангенса, так как высота делит основание пополам, и угол при основании равен \(\alpha\). Таким образом, каждая половина основания равна \(\frac{a}{2}\), а высота связана с углом \(\alpha\) формулой высоты через котангенс половины угла.

Далее, при вращении треугольника вокруг основания, образующая конуса \(l\) равна длине боковой стороны треугольника. Она находится по теореме Пифагора: \(l = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\). Это связано с тем, что боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(h\) и \(\frac{a}{2}\), где угол при основании равен \(\frac{\alpha}{2}\).

Площадь боковой поверхности тела вращения (конуса) равна произведению длины окружности основания и образующей: \(S = \pi r l\), где радиус основания \(r = \frac{a}{2}\). Подставляя значения, получаем \(S = \pi \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi a^2}{4 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Однако, учитывая высоту треугольника и её связь с углом \(\alpha\), площадь поверхности тела вращения выражается через котангенс: \(S = \frac{\pi a^2 \cot \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\). Эта формула учитывает все параметры треугольника и даёт точное значение площади поверхности тела вращения, образованного при вращении равнобедренного треугольника вокруг основания.