ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 9 см и высотой 4 см вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра, конуса и основания.

Вычисляем длину образующей конуса: \( CD = \sqrt{4^2 + (9-6)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \) см.

Площадь поверхности: \( S = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 + \pi \cdot 4 \cdot 5 + \pi \cdot 16 = 48\pi + 20\pi + 16\pi = 84\pi \) см\(^2\).

Рассмотрим вращение прямоугольной трапеции вокруг прямой, проходящей через большее основание. Пусть основания трапеции равны \(6\) см и \(9\) см, а высота \(4\) см. В результате вращения вокруг основания \(9\) см образуется тело, состоящее из цилиндра (высота которого равна \(4\) см, а радиус основания \(6\) см), конуса (образующая которого равна длине боковой стороны трапеции), и основания цилиндра (круг радиусом \(6\) см).

Для вычисления площади поверхности тела вращения найдем длину боковой стороны трапеции, которая станет образующей конуса. Пусть \(CD\) — боковая сторона, тогда по теореме Пифагора: \(CD = \sqrt{4^2 + (9-6)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) см. Это расстояние между вершиной конуса и точкой основания цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi rh\), где \(r = 6\) см, \(h = 4\) см, то есть \(2\pi \cdot 6 \cdot 4 = 48\pi\). Площадь боковой поверхности конуса равна \(\pi rl\), где \(r = 4\) см (высота трапеции), а \(l = 5\) см (образующая), то есть \(\pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi\). Площадь основания цилиндра равна \(\pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\), но по условию задачи учитывается только площадь круга радиусом \(4\) см, то есть \(\pi \cdot 4^2 = 16\pi\).

Суммируем все найденные площади: \(48\pi + 20\pi + 16\pi = 84\pi\) см\(^2\).