ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямоугольная трапеция с основаниями 3 см и 4 см и острым углом 45° вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения вычисляется по формуле:
\( S_{полн} = \pi r l + 2\pi r h + \pi r^2 \)

В прямоугольной трапеции \( AK = KB = 1 \) (см), так как угол \( 45^\circ \) и разность оснований \( 4-3=1 \).

Подставляем значения:
\( S_{полн} = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 2\pi \cdot 1 \cdot 4 + \pi \cdot 1^2 = \pi \sqrt{2} + 8\pi + \pi = \pi (9 + \sqrt{2}) \) (см\(^2\))

Для нахождения площади поверхности тела вращения, полученного при вращении трапеции вокруг меньшего основания, нужно рассмотреть составные части поверхности. Трапеция с основаниями \( AB = 3 \) см и \( CD = 4 \) см, острым углом при основании \( \angle BAD = 45^\circ \), при вращении образует тело, состоящее из боковой поверхности усечённого конуса и двух оснований. Высота трапеции определяется по формуле для прямоугольной трапеции: если угол при основании \( 45^\circ \), то высота равна разности оснований, так как \( h = CD — AB = 4 — 3 = 1 \) см.

Образующая боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( h \) и разностью радиусов оснований: \( l = \sqrt{(CD — AB)^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) см. Радиус малого основания равен \( r_1 = 1 \) см, большого основания \( r_2 = 4 \) см. Площадь поверхности тела вращения складывается из площади боковой поверхности усечённого конуса \( \pi r_1 l \), площади боковой поверхности цилиндра \( 2\pi r_1 h \) и площади основания \( \pi r_1^2 \).

Подставляем все найденные значения в формулу: \( S_{полн} = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 2\pi \cdot 1 \cdot 4 + \pi \cdot 1^2 = \pi \sqrt{2} + 8\pi + \pi \). Складываем подобные слагаемые: \( S_{полн} = \pi (9 + \sqrt{2}) \) см\(^2\).