ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ромб со стороной 10 см и углом 60° вращается вокруг прямой, содержащей одну из сторон ромба. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Ромб со стороной 10 см и углом 60° при вращении вокруг стороны образует тело, состоящее из двух конусов и цилиндра.

Радиус основания: \( r = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см

Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{\text{бок. к.}} = \pi r l = \pi \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\pi \) см\(^2\)

Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{\text{бок. ц.}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 100\sqrt{3}\pi \) см\(^2\)

Площадь полной поверхности: \( S_{\text{полн.}} = 100\sqrt{3}\pi + 2 \cdot 50\sqrt{3}\pi = 200\sqrt{3}\pi \) см\(^2\)

Рассмотрим ромб со стороной 10 см и углом 60°. При вращении ромба вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, образуется тело, состоящее из двух конусов и цилиндра. Для начала определим радиус основания цилиндра и конуса, который равен высоте ромба, опущенной из вершины с углом 60° на противоположную сторону. Так как высота в ромбе вычисляется по формуле \( h = a \cdot \sin \alpha \), где \( a = 10 \) см, а \( \alpha = 60^\circ \), получаем \( r = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Далее вычислим площадь боковой поверхности конуса, образующейся при вращении одного треугольника ромба. Формула площади боковой поверхности конуса: \( S_{\text{бок. к.}} = \pi r l \), где \( r = 5\sqrt{3} \) см, а образующая \( l = 10 \) см (сторона ромба). Тогда \( S_{\text{бок. к.}} = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 50\sqrt{3}\pi \) см\( ^2 \). Таких конусов два, поэтому их суммарная площадь будет \( 2 \cdot 50\sqrt{3}\pi = 100\sqrt{3}\pi \) см\( ^2 \).

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра, который образуется при вращении средней части ромба. Формула площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{\text{бок. ц.}} = 2\pi r h \), где \( r = 5\sqrt{3} \) см, а высота \( h = 10 \) см. Следовательно, \( S_{\text{бок. ц.}} = 2\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 100\sqrt{3}\pi \) см\( ^2 \). Складываем все боковые поверхности: \( S_{\text{полн.}} = 100\sqrt{3}\pi + 100\sqrt{3}\pi = 200\sqrt{3}\pi \) см\( ^2 \).