ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 5 см. Найдите центральный угол этого сектора, если высота конуса равна 4 см.

Радиус основания конуса \( R = \sqrt{l^2 — h^2} = \sqrt{5^2 — 4^2} = 3 \) см.

Площадь боковой поверхности \( S = \pi R l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \).

Площадь сектора \( S = \frac{\pi l^2 \cdot \angle d}{360} = \frac{\pi \cdot 25 \cdot \angle d}{360} \).

Приравниваем площади: \( 15\pi = \frac{25\pi \cdot \angle d}{360} \).

Сокращаем и находим угол: \( 15 = \frac{25 \cdot \angle d}{360} \), значит \( \angle d = \frac{15 \cdot 360}{25} = 216 \) градусов.

Для начала найдем радиус основания конуса. Известно, что образующая конуса \( l \) равна 5 см, а высота \( h \) равна 4 см. По теореме Пифагора радиус основания \( R \) можно вычислить как \( R = \sqrt{l^{2} — h^{2}} = \sqrt{5^{2} — 4^{2}} = \sqrt{25 — 16} = \sqrt{9} = 3 \) см. Это важно, потому что радиус основания нужен для дальнейших расчетов площади боковой поверхности конуса.

Далее найдем площадь боковой поверхности конуса. Она равна произведению длины образующей на длину окружности основания, то есть \( S = \pi R l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \). Эта площадь соответствует площади сектора круга с радиусом \( l \), который разворачивается в боковую поверхность конуса. Поэтому площадь сектора равна \( S = \frac{\pi l^{2} \cdot \angle d}{360} = \frac{\pi \cdot 25 \cdot \angle d}{360} \), где \( \angle d \) — центральный угол сектора в градусах.

Приравняем площади боковой поверхности и сектора: \( 15\pi = \frac{25\pi \cdot \angle d}{360} \). Сократим обе части на \( \pi \), получим \( 15 = \frac{25 \cdot \angle d}{360} \). Решая это уравнение относительно \( \angle d \), получаем \( \angle d = \frac{15 \cdot 360}{25} = 216 \) градусов. Таким образом, центральный угол сектора равен 216 градусам.