ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведена плоскость, образующая с плоскостью основания конуса угол \(\alpha\). Расстояние от центра основания конуса до этой плоскости равно \(a\), а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите радиус основания конуса.

Рассмотрим плоскость, проходящую через две образующие конуса. Эта плоскость образует с плоскостью основания угол \(\alpha\).

Расстояние от центра основания конуса до этой плоскости равно \(a\).

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\).

Радиус основания конуса \(r\) определяется из соотношения:

\[
r = \frac{a \cdot \cot \beta}{\cos \alpha}.
\]

Рассмотрим конус с основанием радиуса \(r\) и вершиной, из которой исходят образующие конуса. Пусть плоскость основания конуса горизонтальна. Через конус проходит плоскость, которая содержит две образующие конуса и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Это значит, что угол между рассматриваемой плоскостью и горизонтальной плоскостью основания равен \(\alpha\).

Центр основания конуса — это точка на плоскости основания, находящаяся в центре круга основания. Расстояние от этой точки до плоскости, проходящей через две образующие, равно \(a\). Это расстояние измеряется по перпендикуляру, то есть кратчайшее расстояние от центра основания до плоскости. Поскольку плоскость образует угол \(\alpha\) с плоскостью основания, то проекция этого расстояния на плоскость основания связана с углом \(\alpha\).

Угол \(\beta\) — это угол между образующей конуса и плоскостью основания. Он характеризует наклон образующей относительно горизонтальной плоскости основания. Из геометрии конуса известно, что радиус основания \(r\), высота конуса и угол \(\beta\) связаны тригонометрическими соотношениями. В частности, радиус основания можно выразить через расстояние \(a\), угол \(\beta\) и угол \(\alpha\) по формуле

\[
r = \frac{a \cdot \cot \beta}{\cos \alpha}.
\]

Здесь \(\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\) — котангенс угла \(\beta\), который появляется в формуле из-за соотношения между высотой, радиусом и наклоном образующей. Деление на \(\cos \alpha\) связано с тем, что плоскость, проходящая через образующие, наклонена относительно основания на угол \(\alpha\), и это влияет на проекцию расстояния \(a\) на плоскость основания. Таким образом, формула учитывает и наклон плоскости, и наклон образующей, позволяя найти радиус основания конуса через известные параметры \(a\), \(\alpha\), \(\beta\).