ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите высоту и радиус основания конуса, если его образующая равна 18 см, а осевое сечение конуса — правильный треугольник.

Дано: образующая конуса \(18\) см, осевое сечение — равносторонний треугольник.

Сторона треугольника \(AB = AC = BC = 18\) см, значит радиус основания \(OC = \frac{18}{2} = 9\) см.

Высота конуса по теореме Пифагора: \(AO^2 = AC^2 — OC^2\),
\(AO^2 = 18^2 — 9^2 = 324 — 81 = 243\),
\(AO = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}\) см.

Ответ:
\(AO = 9\sqrt{3}\) см, \(OC = 9\) см.

В задаче сказано, что осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, а его сторона равна длине образующей конуса, то есть \(18\) см. Это значит, что если рассмотреть осевое сечение, то его вершина \(A\) совпадает с вершиной конуса, а основание \(BC\) совпадает с диаметром основания конуса, поэтому длина диаметра основания конуса также равна \(18\) см. Следовательно, радиус основания конуса можно найти как половину диаметра: \(OC = \frac{18}{2} = 9\) см.

Теперь рассмотрим высоту конуса, которая в осевом сечении соответствует отрезку \(AO\), где \(O\) — центр основания. В равностороннем треугольнике высота опущена из вершины на сторону, противоположную этой вершине. В нашем случае высота — это отрезок \(AO\), а сторона основания — \(BC\). Используем теорему Пифагора для треугольника \(AOC\), где \(AC\) — образующая (\(18\) см), \(OC\) — радиус (\(9\) см), и \(AO\) — высота. Получаем: \(AO^{2} = AC^{2} — OC^{2}\), то есть \(AO^{2} = 18^{2} — 9^{2}\).

Проводим вычисления: \(18^{2} = 324\), \(9^{2} = 81\), значит \(AO^{2} = 324 — 81 = 243\). Тогда \(AO = \sqrt{243}\). Заметим, что \(243 = 9 \times 27 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3\), поэтому извлекаем корень: \(\sqrt{243} = \sqrt{81 \times 3} = 9\sqrt{3}\). Таким образом, высота конуса равна \(9\sqrt{3}\) см, а радиус основания — \(9\) см.

Ответ: \(AO = 9\sqrt{3}\) см, \(OC = 9\) см.